प्रोजेक्ट हेल मैरी - किसी अन्य तारे की वापसी यात्रा के लिए एकतरफ़ा यात्रा की तुलना में 10 गुना ईंधन की आवश्यकता क्यों होती है?

एंडी वियर द्वारा लिखित प्रोजेक्ट हेल मैरी में, नायक कहता है कि एक जहाज को दूसरे तारे पर भेजने और उसे वापस लाने में एक-तरफ़ा यात्रा की तुलना में दस गुना अधिक ईंधन लगेगा। प्रासंगिक उद्धरण है:

"किसी जहाज को किसी अन्य तारे पर भेजने में शायद अत्यधिक मात्रा में ईंधन लगेगा। उस जहाज को दूसरे तारे पर भेजने और उसे वापस लाने में दस गुना अधिक ईंधन लगेगा।"

मैं मूल विचार को समझता हूं कि अतिरिक्त ईंधन ले जाने से वजन बढ़ता है, जिसके परिणामस्वरूप ईंधन की आवश्यकताएं बढ़ जाती हैं। हालाँकि, सहज ज्ञान से, मैंने अनुमान लगाया होगा कि वापसी यात्रा के लिए आवश्यक ईंधन एक-तरफ़ा यात्रा के ईंधन को दोगुना करने के करीब होगा।

इस दावे के पीछे भौतिकी और गणित में किसी भी अंतर्दृष्टि की सराहना की जाएगी।

आइए इसे शास्त्रीय रखें। गति गणना का रॉकेट परिवर्तन है

$$\Delta v =v_e \ln \frac{m_0}{m_f}$$ जहां $v_e$ निकास गति है, $m_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान और $m_f$ अंतिम द्रव्यमान है। इसका मतलब है कि गति में उस बदलाव के लिए आपको प्रारंभिक द्रव्यमान की आवश्यकता है $$m_0=m_f\exp\frac{\Delta v}{v_e}$$

यदि आप त्वरण और मंदी का हिसाब लगाते हैं तो आपको घातांक में 2 का कारक मिलता है

$$m_ {0,1}=m_f\exp\frac{2\Delta v}{v_e}$$

जहां सबस्क्रिप्ट 1 का मतलब है कि आपने एक यात्रा की। यदि आप एक राउंड ट्रिप (2 ट्रिप) करते हैं तो आपको

$$m_{0,2}=m_{0,1}\exp\frac{2\Delta v}{v_e}$$
आप अनुपात चाहते हैं: $$\frac{m_{0,2}}{m_{0,1}}=\exp\frac{2\Delta v}{v_e}=10$$

तो हाँ शास्त्रीय आदर्श में ऐसा लगता है कि यह निकास गति बनाम क्रूज़ गति अनुपात पर निर्भर करता है, पेलोड पर ज्यादा नहीं।

ध्यान दें कि अनुपात वह है जो दक्षता में प्रवेश करता है: $$\eta=\frac{2 (\Delta v/v_e)}{1+(\Delta v/v_e)^2}$$ इसलिए यह सीधे रॉकेट दक्षता से जुड़ा हुआ है। यदि दक्षता $\eta=1$ ($\Delta v \लगभग v_e$) है तो आपको पहले से ही $e^2 \लगभग 7.4$ का एक कारक मिलता है।

अस्वीकरण: मुझे एहसास हुआ कि उपरोक्त गणना का उपयोग करता है कुल वजन, लेकिन कोई निम्नलिखित अनुपात प्रदान करते हुए प्रणोदक वजन $\Delta m = m_0-m_f$ की तुलना कर सकता है:

$$\frac{\Delta m_2}
आइए मान लें कि तारा सूर्य के समान है, और आइए ऐसे किसी भी ग्रह को अनदेखा करें जहां हम ईंधन बना सकते हैं (या खरीद सकते हैं ;-)। मान लीजिए कि जहाज को उस तारे तक भेजने में x टन ईंधन लगता है। फिर जहाज को पृथ्वी पर वापस लौटने में स्पष्ट रूप से उतना ही x टन लगेगा - जैसा कि आप अपने प्रश्न में बता रहे हैं।

हालाँकि, चूँकि हम वहाँ ईंधन नहीं बना सकते, इसलिए वापसी ईंधन को वहाँ तक ले जाना होगा स्टारशिप द्वारा सितारा. इससे जहाज का द्रव्यमान बढ़ जाता है, जिसका अर्थ है कि उसे वहां पहुंचने के लिए अतिरिक्त ईंधन की आवश्यकता होती है। यात्रा की शुरुआत में उस सभी ईंधन को तेज़ करना होगा, और अंत में धीमा करना होगा। इसमें बहुत अधिक ईंधन लगता है. बदले में उस अतिरिक्त ईंधन को जहाज के साथ तब तक तेज़ करना पड़ता है, जब तक वह जल न जाए। और यहीं से 10x का आंकड़ा आता है।

यदि हम तारे पर ईंधन बना सकते हैं (जैसा कि मंगल ग्रह पर वापसी यात्राओं के लिए सुझाव दिया गया है), तो आपका विचार वास्तविकता के बहुत करीब होगा।

आवश्यक ईंधन केवल दोगुना नहीं होने का कारण यह है कि डेल्टा-वी में वृद्धि के परिणामस्वरूप तेजी से अधिक ईंधन की आवश्यकता होती है।

यह मानते हुए कि वापसी यात्रा बिल्कुल उसी रास्ते से होगी (इसलिए डबल डेल्टा-वी) और बाकी सब समान होने पर, आदर्श रॉकेट समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाज का आवश्यक कुल द्रव्यमान eò के कारक से बढ़ जाएगा, जो कि 7.4 गुना अधिक ईंधन के बराबर है। ई का मान त्सोल्कोवस्की रॉकेट समीकरण का उपयोग करके, कुल द्रव्यमान को हल करके प्राप्त किया जाता है, और फिर ध्यान दिया जाता है कि चूंकि डेल्टा-वी शब्द ई का एक घातांक है, इसलिए डेल्टा-वी को दोगुना करने से ई का कुल द्रव्यमान अधिक होगा। .

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह 7.4x मान आदर्श परिस्थितियों में है जहाँ आपको बस अधिक ईंधन जोड़ने की आवश्यकता है, वास्तव में आवश्यक ईंधन और भी अधिक बढ़ जाएगा। उस अतिरिक्त ईंधन को ईंधन टैंक और संरचनात्मक समर्थन के लिए अधिक द्रव्यमान की भी आवश्यकता होगी जिसके बदले में उस द्रव्यमान को ले जाने के लिए और भी अधिक ईंधन की आवश्यकता होगी (इसे अत्याचार के रूप में जाना जाता है)